数学 : ベクトル解析
■ナブラ記号
ナブラ記号 $ \nabla は以下のように定義される
$ \nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \ \frac{\partial}{\partial y} \ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}
■勾配(grad)
スカラー場 $ F = F(x, y, z) に対して、ナブラ($ \nabla )を適用することで勾配(glad)を計算できる。
$ glad \ F = \nabla \ F
■発散(div)
ベクトル場 $ \bm{F} = (F_1, \ F_2, \ F_3 ) に対して、ナブラ($ \nabla )と内積を適用することで発散(div)を計算できる。
$ div \ \bm{F} = \nabla \cdot \bm{F}
$ F_1, \ F_2, \ F_3 はx,y,zの関数で、 $ F_1 = F_1(x, y, z) , \ F_2 = F_2(x, y, z) \ F_3 = F_3(x, y, z)
■回転(rot)
ベクトル場 $ \bm{F} = (F_1, \ F_2, \ F_3 ) に対して、ナブラ($ \nabla )と外積を適用することで回転(rot)を計算できる。
$ rot \ \bm{F} = \nabla \times \bm{F}
$ F_1, \ F_2, \ F_3 はx,y,zの関数で、 $ F_1 = F_1(x, y, z) , \ F_2 = F_2(x, y, z) \ F_3 = F_3(x, y, z)
$ \nabla A は外積と偏微分を利用して以下のように計算できる。( $ \bm{A} = (A_x, \ A_y, \ A_z ) )
$ \nabla \times A = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}
$ = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \\\\ \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \\\\ \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix}
■関連
■参考リンク
gradの積分形による定義